Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
«Воротынская средняя общеобразовательная школа»
Тема:
«
ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА РАЗНЫМИ СПОСОБАМИ
»
Гарусин Савелий –
обучающийся 7 класса
Руководитель:
Козичева Е.Н. - учитель физики
2012 г.
УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ
ТЕМА: ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА РАЗНЫМИ СПОСОБАМИ
АННОТАЦИЯ ПРОЕКТА
При изучении физики в 7 классе по учебнику А.В. Перышкина обучающиеся выполняют лабораторную работу «Измерение объема тела».
Цель работы – научиться определять объем тела с помощью измерительного цилиндра .
Однако, теоретического материала в учебнике нет. В ходе работы над проектом, недостающие знания были получены из разных источников (учебников, энциклопедий, сети – Интернет).
Данная работа содержит определение объема тела, как физической величины, исторические факты определения объема геометрических тел, единицы измерения объема в настоящее время и в древности .
Эксперименты, описанные в работе, расширяют знания о способах измерения объема тел. И позволяют сделать вывод, что объем одного и того же тела можно измерить разными способами. Результаты исследований оформлены в виде презентации.
Материалы, собранные в работе могут быть использованы для проведения урока физики в 7 классе «Измерения объема тела».
МОТИВАЦИЯ
На уроке физики мы измеряли объем тел. На уроках математики решали задачи на расчет объемов кубов и параллелепипедов . Я решил узнать о методах измерения объема тела, единицах измерения объема в настоящее время и в древности.
Цель проекта:
Изучение способов измерения объема.
Задачи проекта:
ОБЪЕМ ТЕЛА МОЖНО ИЗМЕРИТЬ РАЗНЫМИ СПОСОБАМИ.
Методы исследования:
Физическая величина - ОБЪЕМ
Предмет исследования:
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объёма описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением. Среди замечательных греческих ученых V - IV вв. до н.э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит и Евдокс Книдский.
Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой . Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.
Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту. V = S H
, где S = a b
– площадь его основания, а H
– высота. Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур. В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.
Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает, и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.
Единицы измерения объема
Объем - это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа.
в) Измеряю объем вылившейся воды с помощью мензурки .
г) Объем воды равен объему тела.
V = 5см 3
Выводы:
а) Измеряю высоту цилиндра h
б) Измеряю диаметр окружности d
d= 2,3см
в) По формуле рассчитываем площадь основания цилиндра
г) По формуле рассчитываем объем тела
V = Sh
V = 20,3 см 3
2) Измеряю объем тела с помощью мензурки
а) В мензурку наливаю 150 см 3 воды.
б) Полностью погружаю тело в воду.
в) Определяю объем воды с погруженным в нее телом. г)Разница объемов воды до и после погружения в нее измеряемого тела и будет объемом тела.
V = V 2 – V 1
д) Результаты измерений записываю в таблицу:
а) Наполняю сосуд водой до отверстия отливной трубки.
б) Полностью погружаю в него тело.
в) Измеряю объем вылившейся воды с помощью мензурки.
г) Объем воды равен объему тела.
V = 19 см 3
Выводы:
Во всех опытах объем тела получился приблизительно одинаковый.
Значит, объем тела можно вычислить, пользуясь любым из предложенных способов.
ИТОГ ИССЛЕДОВАНИЯ
Проведенные опыты позволяют сделать заключение. Гипотеза, выдвинутая в исследовательском проекте , подтвердилась:
ОБЪЕМ ТЕЛА МОЖНО ИЗМЕРИТЬ РАЗНЫМИ СПОСОБАМИ.
Лабораторная работа №1
Тема:
Цель:
Оборудование:
параллелепипеда
Техника безопасности
Ход работы
Теоретические сведения
Объем - это
3 ).
математических :
.
Практическая часть
Опыт №1.
Таблица №1
Стороны предмета
Объем, м 3
длина, м
ширина d, м
высота h, м
Куб
Параллелепипед
зависимости от объема);
.
V =_____(__).
Таблица №2
Начальный объем воды V 1 , см 3
Объем воды и тела V 2 , см 3
Объем тела V
полностью 2
3. Определите объем V
Теоретическая часть
Запишите вывод в тетради.
Лабораторная работа №1
Тема: Измерение объема жидкости и объема твердого тела
Цель: научиться определять объемы жидкостей и твердых тел
(правильной и неправильной формы)
Оборудование: мерный цилиндр или мензурка с водой, линейка тело
неправильной формы, тело, имеющее форму прямоугольного
параллелепипеда
Техника безопасности
Ход работы
Теоретические сведения
Объем - это , которая характеризует свойство тел занимать ту или иную часть пространства. Единицей объема в
международной системе единиц (СИ) является кубический метр (м 3 ).
кубический метр равен объему куба с ребром 1 м.
Если тело имеет правильную геометрическую форму, то, измерив линейные размеры, можно определить его объем с помощью соответствующих
математических :
объем тела, имеющего форму куба, вычисляется по формуле: , где – сторона куба.
объем тела, которое имеет форму прямоугольного
параллелепипеда, вычисляется по формуле: , где - длина тела; d - ширина тела; h - высота тела .
Практическая часть
Опыт №1. Определение объема тела правильной формы
Таблица №1
Стороны предмета
Объем, м 3
длина, м
ширина d, м
высота h, м
Куб
Параллелепипед
1. При помощи линейки измерьте длину, ширина и высоту сторон предмета. Полученные результаты запишите в таблицу №1.
2. Определите по приведённым формулам объем предмета правильной формы. Результат запишите в таблицу.
Объем жидкости и газа измеряют с помощью мерного цилиндра или мензурки. Для объема жидкости с помощью мерного цилиндра (мензурки) необходимо:
а) перелить жидкость в мерный сосуд (она приобретет форму сосуда,
а ее верхняя граница будет находиться на определенной высоте в
зависимости от объема);
б) определить пометку шкалы, напротив которой расположена верхняя
граница столба жидкости; зная цену деления шкалы, вычислить .
Опыт №2 Определение объема жидкости
1. Определите цену деления мерного цилиндра, вместе с расчетами запишите в тетрадь полученное значение. С= ______(__).
2. Определите объем воды и запишите полученный результат. V =_____(__).
Опыт №3. Определение объема тела неправильной формы
Таблица №2
Начальный объем воды V 1 , см 3
Объем воды и тела V 2 , см 3
Объем тела V
1. Запишите в таблицу 2 начальный объем воды в мерном стаканчике.
2. Погрузите в воду тело неправильной формы полностью . Измерьте общий объем воды вместе с телом. Запишите в таблицу полученный объем V 2
3. Определите объем V тела неправильной формы по формуле: . Вычисления запишите в тетрадь. Заполните таблицу, указав полученный результат.
Теоретическая часть
Ответьте письменно на вопросы, рассмотрев шкалу измерительного прибора:
1. Каков объем жидкости в цилиндре, если она налита до верхнего штриха шкалы?
2. Каков объем жидкости в цилиндре, если она налита до первого снизу штриха?
3. Каков объем жидкости помещается между ближайшими штрихами шкалы?
Анализ результатов эксперимента
Проанализируйте эксперимент и его результаты. Сформулируйте вывод, в котором укажите: какую физическую величину вы сегодня находили; какими приборами для этого пользовались; как вы считаете, измениться ли объем параллелепипеда, если его измерить при помощи мерного стаканчика?
Запишите вывод в тетради.
Определять объемы жидкостей, твердых тел (правильной и неправильной формы) и газов.
: мерный цилиндр или мензурка, линейка, сосуд с водой, тело неправильной формы, тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда , небольшая колба, стакан.
Теоретические сведения
Например, объем тела, которое имеет форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 2), вычисляется по формуле:
V = Idh, где I - длина тела; d - ширина тела; h - высота тела.
Указания к работе
Подготовка к эксперименту
1. Прежде чем начать измерения, вспомните:
а) как определяется цена деления шкалы средства измерения;
б) как правильно снимать показания мерного цилиндра;
в) какие меры безопасности надо соблюдать при работе с мензуркой.
2. Определите и запишите цену деления шкал линейки и мерного цилиндра.
Эксперимент
Результаты всех измерений сразу же заносите в таблицу.
1. Измерьте объем тела неправильной геометрической формы с помощью мерного цилиндра.
2 . Определите объем тела правильной геометрической формы.
3. Определите объем тела правильной геометрической формы с помощью линейки.
4. Измерьте объем воздуха, который содержится в колбе и других сосудах, находящихся на вашем столе.
| Номер опыта | Название сосуда | Объем жидкости, см 3 | Объем воздуха, см 3 |
| 1. | |||
| 2. | |||
| 3. |
Анализ результатов эксперимента
1. Проанализировав различные способы измерения объема, укажите:
а) какой из способов определения объема твердого тела является более универсальным и почему;
б) какие факторы повлияли на точность полученных вами результатов.
2. Сделайте вывод, в котором укажите, что именно вы научились измерять и для чего могут пригодиться навыки, полученные при выполнении работы.
Дополнительное задание
Предложите способы измерения объема тела неправильной формы, если:
а) его объем меньше, чем цена деления мерного сосуда, который у вас имеется;
б) тело не помещается в сосуд, который у вас имеется.
Физика. 7 класс: Учебник / Ф. Я. Божинова, Н. М. Кирюхин, Е. А. Кирюхина. - X.: Издательство «Ранок», 2007. - 192 с.: ил.
Содержание урока конспект урока и опорный каркас презентация урока интерактивные технологии акселеративные методы обучения Практика тесты, тестирование онлайн задачи и упражнения домашние задания практикумы и тренинги вопросы для дискуссий в классе Иллюстрации видео- и аудиоматериалы фотографии, картинки графики, таблицы, схемы комиксы, притчи, поговорки, кроссворды, анекдоты, приколы, цитаты Дополнения рефераты шпаргалки фишки для любознательных статьи (МАН) литература основная и дополнительная словарь терминов Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике замена устаревших знаний новыми Только для учителей календарные планы учебные программы методические рекомендацииПлан-конспект урока физики по теме:
Измерение объема тела
Класс: 7Б
Тип урока: Урок применения знаний и умений.
Форма урока : Урок-практикум.
Цели урока:
Образовательные:
Развивающие:
Формировать умение применять приемы сравнения ;
Воспитательные:
Оборудование : измерительный цилиндр (мензурка); отливной стакан; пустой сосуд; тела правильной и неправильной формы небольшого объема (гайки, кусочки металла, фигурки из пластилина и т.д.); нитки.
Методы: беседа, практическая работа в парах и группах по 4 человека
Ход урока.
I. Организационная часть (2 мин)
На предыдущих уроках мы познакомились с такими физическими величинами, как плотность тела, его объём, масса. Узнали, что все эти величины зависят от агрегатного состояния тел.
Задачи сегодняшнего урока:
II . Актуализация знаний учащихся (4 мин)
На доске: слева под номерами серия вопросов (общего характера для повторения); в центре «окно» (нарисованный квадрат) с помещенной какой-либо буквой; справа столбиком ряд цифр, около которых написаны ответы.
Задание: за 3-4 минуты дайте ответы на вопросы, написанные слева, причем так, чтобы они начинались на указанную в «окне» букву.
Выбрана буква «М». Ниже приведены вопросы и ответы.
1) Физическая величина.
2) Ученый
3) Физическое тело.
4) Вещество.
5) Природное явление.
6) Прибор.
7) Раздел физики.
8) Единица измерения.
9) Профессия, имеющая отношение к физике.
Выводы:
Ответы учеников разнообразны:
1) Физическая величина – Масса;
2) Ученый - Максвелл;
3) Физическое тело – Маятник;
4) Вещество – Медь;
5) Природное явление – Молния;
6) Прибор – Метроном;
7) Раздел физики – Механика;
8) Единица измерения – Метр;
9) Профессия, имеющая отношение к физике – Музыкант.
III. Работа в парах. (25 мин.)
Учащиеся выполняют лабораторную работу «Измерение объема тела», пользуясь инструктивной карточкой.
Сначала ребята выполняют практическую работу по карточке №1
карточке №1
Определение объема тела правильной формы :
Расчет объема тела правильной формы
Таблица№1
Затем учащиеся выполняют практическую работу по карточке №2:
Определение объема тела неправильной формы:
карточке №2
Расчет объема тела неправильной формы
Таблица№2
В работе учащиеся учитывают, что 1мл=1 см 3
В процессе выполнения практической работы по «Измерению объема тела» разных форм. Учащиеся получили индивидуальные результаты, характерны только для их пары. Т.к. тела были различны как по форме, так и по составу; объем воды в мензурках был различен.
Результаты некоторых измерений приведены в таблице №2
Результаты измерений объема тел различной формы
Таблица №3
опыта | Название тела | Начальный объем жидкости в мензурке V 1 , см 3 | Объем жидкости и тела V 2 , см 3 | Объем тела V, см 3 V= V 2 - V 1 |
|
тела правильной формы |
|||||
Цинковый цилиндр Пластмасс. цилиндр | V 1 =(72 0,5)см 3 V 1 =(72 0,5)см 3 | V 2 =(82 0,5) см 3 V 2 =(80 0,5) см 3 | V=(10 0,5) см 3 V=(8 0,5) см 3 |
||
тела неправильной формы |
|||||
Объемный многоуго льник | V 1 =(131 0,5)см 3 | V 2 =(51 0,5)см 3 | V= V 2 V=(51 0,5)см 3 |
||
Выводы по лабораторной работе : в ходе выполнения работы, мы научились определять объем тел различной формы с помощью мензурки и вытесненной жидкости. В работе была учтена погрешность измерительного прибора (мензурки).
Работа в группах (7 мин)
Класс разделяется на три группы (по рядам сидячих мест). В тетрадях для лабораторных работ выполняют решение одной задачи.
Каждой группе предлагается по одной расчетной задачи. Содержание задач представлено на слайдах, и воспроизведены с помощью проектора на экран.
Задачи взяты из задачника Г. Остера.
Задача для группы №1.
Печальный дядя Боря захотел сам сварить себе суп, и у него получилось полкастрюли зеленой гадости . Объем этой гадости, которую дядя Боря не отважился попробовать – 0,001м 3 . Масса этой гадости – 1 кг 300 г. Вычисли плотность дядибориной гадости.
Задача для команды №2.
В цирке клоун одной левой поднимает огромную гирю, на которой написано 500 кг. На самом деле масса гири в 100 раз меньше. Объём этой гири 0,2 м 3 . Вычисли плотность цирковой гири.
Задача для команды №3.
В те редкие дни, когда мама загоняет среднеупитанного и плотного Петю в наполненную до краёв ванну, на пол выливается 30000 см 3 воды. Масса Пети 30 кг. Определите среднюю плотность Пети.
Решение задач были представлены следующие:
Решение задачи №1:
Дано: СИ Решение:
V супа = 0,001 м 3 плотность вещества найдем по формуле:
m = 1 кг 300 г ρ = m/V,
Где m - масса «супа»,
ρ-? V – объем «супа».
M с = 1,3 кг
Следовательно, подставляя числовые значения в формулу, мы определим плотность супа, сваренного д.Борей:
ρ = 1,3 кг/ 0,001 м 3 = 1300 кг/ м 3
Ответ: ρ = 1300 кг/м 3
3 этого «супа» будем иметь массу 1300 кг.
Решение задачи №2:
Дано: | СИ | Решение: |
V гири = 0,2 м 3 m = 500 кг | Плотность гири найдем по формуле: ρ = m/V, где m - масса гири, V – объем гири. m истинного значения гири будет равно: m = 500/100=5 кг, ρ=5кг/0,2м 3 = 25 кг/м 3 ответ: ρ=25 кг/м 3 |
|
ρ-? | ||
Полученный ответ подразумевает следующее: получилось, что 1 м 3 этой гири будем иметь массу 25 кг. |
||
Решение задачи №3:
Дано: | СИ | Решение: |
V = 30000 см 3 m = 30 кг | 0,03м 3 | Плотность Пети найдем по формуле: ρ = m/V, где m - масса Пети, V – объем вылившейся воды, это и будет объем Пети. Переведем объем воды в систему СИ используя метод пропорций: 1м 3 =1000000см 3 х м 3 =30000 см 3 _ 1000000х=30000 х= 30000/1000000 х= 0,03 м3 подставляя числовые значения в формулу, мы определим плотность: ρ ср = 30кг/0,03м 3 = 1000 кг/м 3 ответ: ρ ср = 1000 кг/м 3 |
ρ ср -? | ||
Итог урока: (2 мин)
Ребята сдают тетради с выполненной лабораторной работой.
Учитель подводит итоги работы на уроке. Домашнее задание отсутствует, т.к. ребята хорошо потрудились на уроке, успев выполнить все предлагаемые задания.
Согласовано»
Директор МОУ
Клявлинской СОШ №2______________ Л.Н.Харымова
Анализ урока физики в 7 классе.
ФИО учителя : Костина О.В.
Класс: 7Б
Количество учащихся: 19 человек.
Цель посещения: Изучить соответствие содержания урока его целям и задачам, взаимодействие учителя и учащихся на уроке .
Тип урока : Урок применения знаний и умений .
Форма урока: урок-практикум
Тема урока: «Измерение объема тела»
Структурные элементы урока | Соответствие целям и задачам урока |
1. Постановка образовательных целей урока. | Образовательные цели урока:
Данные цели достигнуты, соответствуют теме, содержанию и типу урока. Неоднократно на уроке происходило закрепление знаний по изученному материалу. Ответы ребят были грамотные. При демонстрации на доске мини игры «Думай быстро» ребята повторили опорные понятия; повторение материала происходило в ходе выполнения работы по измерению объема тел правильной и неправильной формы. При проведении лабораторных работ на практике закрепляются теоретические знания по теме и навыки работы с физическими приборами. Сочетание данных форм работы способствует осознанному усвоению материала. Учитель вначале урока четко сформулировал целевые ориентиры урока. |
2. Постановка развивающих целей. | Развивающие цели урока: Формировать умение наблюдать и делать выводы; Развивать умение работать в группах;
Данные цели достигнуты, соответствуют теме, содержанию и типу урока. При проведении практической части урока происходит развитие способности наблюдать и на этой основе обобщить знания и сделать выводы (активизирует мышление школьника). Работа в парах и четверках формирует умение работать в группах разной численности и состава, формирует нацеленность на общий результат. Сочетание данных форм работы способствует осознанному усвоению материала. Лабораторная работа, заполнение таблиц учит ребят планировать срою работу. |
3. Постановка воспитательных целей урока. | Воспитательные цели урока:
Цели достигнуты, соответствуют теме, содержанию и типу урока: Урок проводится с постоянной вовлеченностью каждого ученика в процесс получения знаний. Содержит задания познавательного характера, соответствующие возрастным особенностям учащихся. На протяжении всего урока – практикума прослеживается отчетливая целенаправленность. Такая форма урока способствует формированию познавательного интереса к предмету. Учащиеся учатся слушать и слышать друг друга, т. к. они работают в группе с общими познавательными целями . |
4. Форма организации учебной деятельности | На уроке происходит чередование различных форм учебной деятельности. На этапе актуализации знаний – фронтальный опрос. Следующие этапы урока включают, в основном, групповую работу. В ходе урока учитель работает со всем классом, эффективно добиваясь поставленных целей. |
5. Методы организации деятельности учащихся на уроке | Основной метод организации деятельности учащихся на уроке практический, он способствует активизации мыслительной деятельности учащихся. В начале урока учителем дается мотивация деятельности учащихся по применению полученных знаний в ходе данного урока. |
6.Средства обучения, применяемые на уроке | В качестве средств обучения применяются физические приборы. Рациональному использованию времени на уроке способствует готовый раздаточный материал (на каждую парту). Учитель для большей наглядности использует слайды с задачами для закрепления. |
7. Применение технологии обучения | Урок проводится в нестандартной форме урока – практикума и содержит задания познавательного характера, соответствующие возрастным особенностям учащихся. Задания, применяемые учителем на уроке, использование информационных технологий, способствуют активизации мыслительной деятельности учащихся. |
8. Соответствие содержания урока требованиям государственных программ | Материал урока соответствует программе курса «Физики 7-9 класс» для общеобразовательных учреждений. Программа подготовлена авторским коллективом Е.М. Гутник, А.В. Перышкин, М.: «Дрофа», 2001 г., рекомендованная Департаментом общего среднего образования Министерства образования Российской Федерации. В соответствии с требованиями федерального компонента государственного стандарта общего образования по физики к уровню подготовки выпускников основной школы ученики в ходе урока повторяют материал по теме «Плотность вещества», «Масса тела». Знания и умения, которые показали учащиеся на уроке, соответствуют требованиям к физической подготовке учащихся основной школы: у учащихся хорошо сформировано понимание «тело», «вещество»; хорошо владеют практическими приемами: работой с мензурками и телами различных форма; сформированы навыки сравнения; хорошо сформирована физическая речь учащихся. |
9. Рациональная организация труда учащихся | Выдержано время, отведенное на проведение урока. Урок достаточно содержателен и насыщен. Выполнена работа, запланированная учителем, на 40 минут. |
10.Стиль отношения учителя с учащимися. | Взаимоотношения учителя с учащимися выстроены на основе взаимного уважения. В ходе данного урока наблюдается особая активность учащихся, чувствуется их заинтересованность в успешном результате. |
11. Результаты познавательной деятельности на уроке. | На учебном занятии были созданы условия для проявления познавательной активности учеников, развития индивидуальных способностей. Класс работал активно. Вместе с учителем ребята обобщали материал, делали выводы, работали самостоятельно и в группах, учились самоконтролю и взаимоконтролю. На данном уроке все учащиеся получили положительные оценки за выполнение лабораторной части урока; поставлены оценки «5» за устные ответы. Все без исключения учащиеся активно добывали знания, а не являлись пассивными слушателями. |
Заместитель директора
По учебно-воспитательной работе_________ С.В. Миханьков
«Согласовано»
Директор МОУ
Клявлинской СОШ №2_____________ Л.Н.Харымова
Геометрической формы
Методические указания к лабораторной работе
Красноярск 2016
Лабораторная работа
Измерение объемов тел
Правильной геометрической формы
Цель работы :
– вычислить объем твердого тела правильной геометрической формы;
– научиться обрабатывать результаты измерений и оценивать точность измеряемой величины посредством погрешностей.
Приборы и принадлежности : тело цилиндрической формы, штангенциркуль.
Основные положения теории погрешностей
Курс физики составляет основу базовой подготовки инженера любой специальности. Поскольку физика – наука экспериментальная, то выполнение лабораторных работ в учебных лабораториях является неотъемлемой частью физического образования студента. Получая опытные данные, в процессе проведения физического эксперимента, обучающийся должен уметь обрабатывать его результаты. Поэтому, прежде всего, необходимо освоить приемы и методы расчета погрешностей измеряемых величин, поскольку любая физическая величина, в результате влияния многих объективных и субъективных причин, может быть измерена лишь приближенно, с некоторой точностью.
В данном разделе описана методика обработки результатов измерений, в основе которой лежит наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности – метроло́гия . Метрология, опираясь на результаты математической статистики, предоставляет сведения относительно того, как следует обрабатывать результаты измерений количественной информации о свойствах объектов окружающего нас мира с заданной точностью и достоверностью.
Прямые и косвенные измерения. Виды погрешностей
Целью любого физического эксперимента является измерение физических величин, которые характеризуют изучаемое явление. Результатом отдельного измерения, часто называемого наблюдением, служит численное значение измеряемой величины.
Измерение величины : процесс экспериментального получения одного или более значений величины, которые могут быть обоснованно приписаны величине. Измерение подразумевает сравнение величин или включает счет объектов. Измеряемая величина может быть соотнесена с другой эталонной величиной, принятой за единицу измерения.
Пример – Измерения меры длины, выполненные путем сравнения с эталонной мерой на штангенциркуле.
Результат измерения физической величины; результат измерения; результат : значение величины, полученное путем её измерения.
По способу получения результата измерения физической величины, выделяют прямые, косвенные и совместные измерения.
Прямое измерение : измерение, при котором искомое значение величины получают непосредственно от средства измерений.
Примеры
Измерение длины детали микрометром.
Измерение силы тока амперметром.
Доверительные границы погрешности измерения
И доверительная вероятность
Предположим, что при многократном измерении физической величины в эксперименте получено её значений Будем считать, что все измерения выполнены с одинаковой тщательностью и по одной и той же методике. Нашей задачей является нахождение: среднего арифметического значения измеряемой величины; доверительных границ погрешности результата измерений при заданном значении доверительной вероятности.
Как указывалось выше, в качестве истинного значения измеряемой величины следует принять её среднее арифметическое значение . В этом случае значение лежит в некоторых пределах вблизи . Нужно найти этот интервал, в пределах которого с заданной вероятностью можно обнаружить значение определяемой величины . Для этого задают некоторую вероятность , близкую к 1. После чего определяют для нее нижнюю границу интервала и верхнюю границу интервала , внутри которого должно находиться значение определяемой величины, (см. рис. 1).
Интервал здесь и дает доверительные границы погрешности , определяя верхнюю и нижнюю границу интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится значение измеряемой величины .
Вероятность называют доверительной вероятностью .
Рис. 1 Пояснения к терминам
Окончательный результат измерений записывается в виде
Приведенную запись следует понимать так: существует определенная степень уверенности в том, что значение измеряемой величины находится в пределах рассчитанного интервала от до . Равенство доверительной вероятности значению означает, что при проведении большого количества измерений, в 95 % случаев ( результаты измерений физической величины, выполненные с одинаковой тщательностью и на одном и том же оборудовании, попадут внутрь доверительного интервала.
Обратите внимание на то, что для расчета доверительных границ погрешности (без учета знака) доверительную вероятность принимают равной 0,95. Однако в особых случаях, если не удается повторить измерения при неизменных условиях опыта, или если результаты опыта имеют отношение к здоровью людей, допускается применять доверительную вероятность равную 0,99.
Пример – Результат измерения штангенциркулем диаметра цилиндра представлен в виде
| . |
Эта запись подразумевает, что в результате проведения некоторого числа замеров диаметра цилиндра, среднее арифметическое значение величины равно мм. Доверительные границы погрешности мм, а измеренное значение диаметра лежит в диапазоне от до мм. Такой результат отвечает доверительной вероятности . Последний факт означает, что в 95% случаев результаты измерений диаметра при любом количестве последующих его замеров тем же инструментом, будут находиться внутри интервала от до мм.
В предыдущем примере погрешность измерения выражалась в тех же единицах, что и сама измеряемая величина. Такая запись выражает результат в абсолютной форме.
Абсолютная погрешность : погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.
Однако погрешность может быть выражена и в относительной форме.
Относительная погрешность : погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности к истинному значению, в качестве которого принимают среднее арифметическое значение . Границы относительной погрешности в долях или процентах находят из соотношений
Пример – Используем предыдущий пример, результаты которого были представлены в виде: .
Здесь доверительные границы абсолютной погрешности мм, а относительная погрешность , или 0,26%.
И результата измерений
Вопрос о точности вычисления очень важен, так как позволяет избежать большого объема лишней работы. Следует понимать, что не нужно проводить вычисления с точностью превосходящей тот предел, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся в опыте величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.
Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:
– если нуль находится между значащими цифрами.
Пример – В числе 2053 – четыре значащих цифры;
– когда нуль стоит в конце числа и известно, что единицы соответствующего разряда в данном числе нет.
Пример – В числе 5,20 три значащих цифры. Из этого следует, что при измерении учитывались не только единицы, но и десятые, и сотые. В числе 5,2 – только две значащих цифры, поэтому, учитывались только целые и десятые.
Приближенные вычисления производятся при соблюдении следующих правил:
– при сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков.
Пример – 0,8934+3,24+1,188=5,3214 5,32.
– при умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет число с наименьшим количеством значащих цифр.
Пример – 8,632 2,8 3,53 = 85,318688 85,3.
Если же один из сомножителей начинается с единицы, а сомножитель, имеющий наименьшее количество цифр, – с любой другой цифры, то в результате сохраняют на одну цифру больше, чем в числе с наименьшим количеством значащих цифр.
Пример – 30,9 1,8364=56,74476 ≈ 56,74.
При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем прописывают приведенные выше правила (одна цифра оставляется для «запаса»). В окончательном результате цифра, оставляемая для «запаса» отбрасывается. Для уточнения значения последней значащей цифры результата, цифру, следующую за ней, следует вычислить. Если она , её следует просто отбросить, а если окажется , то, при её отбрасывании, предыдущую цифру нужно увеличить на единицу. Обычно в абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной погрешности;
– при расчете значений функций , , некоторого приближенного числа результат должен содержать такое количество значащих цифр, сколько их имеется в числе .
Пример – .
Следует отметить, что абсолютную погрешность предварительно вычисляют не более, чем с двумя значащими цифрами, а в окончательном результате еще раз округляют до одной значащей цифры. Для относительной погрешности оставляют две значащие цифры.
Основное правило представления результатов состоит в том, что значение любого результата должно оканчиваться цифрой в таком десятичном разряде, что и последняя значащая цифра погрешности.
Пример – Результат с погрешностью 0,5 нужно округлить до . Если этот же результат получен при погрешности 5, то его правильно представить в виде: . А если погрешность равна 50, то записываем результат, как .
Порядок выполнения работы
1. Научиться пользоваться измерительным прибором – штангенциркулем (приложение А).
2. Измерить на обоих концах цилиндра его диаметр с помощью штангенциркуля. Провести 5 измерений, поворачивая цилиндр вокруг его оси. Результаты записать в таблицу 2.
3. Измерить высоту цилиндра с помощью штангенциркуля 5 раз, повернув перед каждым измерением цилиндр вокруг его оси на некоторый угол (около 45°). Результаты записать в таблицу 2.
4. Вычислить средние арифметические значения высоты и диаметра цилиндра по формулам
 ,
|  .
|
Таблица 2
Результаты измерений и вычислений
| Номер измерения | , мм | , мм | , мм | , мм | , мм | , мм |
| … | ||||||
| n | ||||||
7. Определить значение систематической погрешности штангенциркуля (в нашем случае эта допускаемая погрешность средства измерения) в виде 
. Если и отличаются от погрешности средства измерения более чем в три раза, то за величину погрешности измерений и принимаем наибольшую из величин и или . Иначе, погрешности измерений определяются по формулам:
в которых значение определяется из соотношения (8), а для высоты и для диаметра рассчитываются по формуле (7)
,
.
Величина находится согласно выражению , где вместо систематической погрешности была подставлена погрешность средства измерения .
8. Вычислить относительные погрешности, выраженные в процентах, измерения высоты и диаметра цилиндра по формулам
,
%.
Если константу округлить до значения 3,14, то 
– погрешность такого округления. Формула (18) получается, если прологарифмировать выражение (17), а затем его продифференцировать согласно методике пункта 1.5 по всем переменным, в том числе и по константе .
12. Записать окончательный результат в виде:
| , мм, P=0,95, =…% , мм, P=0,95, =…% , мм 3 , P=0,95, =…% |
4 Контрольные вопросы и задания
1. Дать определения и привести примеры: измерения величины; результата измерения; погрешности результата измерения; среднего арифметического значения измеряемой величины; прямого измерения; косвенного измерения; совместного измерения; многократного измерения.
2. Перечислить и описать виды погрешностей и способы получения результата.
3. Как определить границы систематической погрешности при наличии менее трех её составляющих?
4. Назвать отличие относительной погрешности от абсолютной погрешности измерения.
5. Сделать выводы формул (9), (10) и (18).
6. От каких параметров зависит значение коэффициента Стьюдента?
8. При каких условиях можно пренебречь случайной или систематической погрешностями?
10. Объяснить смысл доверительных границ абсолютной погрешности, относительной погрешности и доверительной вероятности.
11. В каком виде записывается окончательный результат проведенных измерений?
Библиографический список
1. ГОСТ Р 8.736-2011 Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения. – Введ. 01.01.2013. – Москва: Стандартинформ, 2013. – 20 с.
2. Грановский, В. А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях [Текст] / В.А. Грановский, Т.Н. Сирая. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 288с.
3. Зайдель, А. Н. Погрешности измерений физических величин [Текст] / А. Н. Зайдель. – Л.: Наука, 1985. – 112с.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Примеры
1 На рис 3 а показания штангенциркуля составляют: . На рис 3 б показания штангенциркуля составляют: .
2 На рис 4 а показания штангенциркуля составляют: . На рис 4 б показания штангенциркуля составляют: .
Перед эксплуатацией штангенциркуля нужно проверить его техническое состояние методом визуального осмотра. Штангенциркуль не должен иметь перекошенные губки, коррозию и царапины на рабочих поверхностях. При совмещенных губках нулевой штрих нониуса должен совпадать с нулевым штрихом штанги. Если в штангенциркуле обнаружены описанные выше технические неисправности или несовпадение губок нулевого штриха нониуса с нулевым штрихом штанги, то пользоваться им не разрешается. Неисправный штангенциркуль необходимо поменять на другой.
При проведении измерений штангенциркулем нужно соблюдать следующие правила:
– губки 3 штангенциркуля (рис. 2) прижимать к детали плотно, но без особых усилий, без зазоров и перекосов;
– при измерении наружного диаметра цилиндра, следить за тем, чтобы плоскость рамки 2 была перпендикулярна оси цилиндра;
– при измерении цилиндрических отверстий, губки 4, располагать в диаметрально противоположных точках отверстия. Их можно найти по максимальным показаниям шкалы штангенциркуля. При этом плоскость рамки 2 должна проходить через ось отверстия, чтобы не допустить ошибок при измерении цилиндрического отверстия;
– при измерении глубины отверстия, штангу 1 устанавливать у его края перпендикулярно поверхности изделия. Линейку глубиномера выдвигать до упора в дно при помощи рамки 2;
– полученный размер фиксировать стопорным винтом и определять показания, так как описано выше.
Измерение объемов тел правильной
Геометрической формы
